考研幫 > 數(shù)學(xué) > 復(fù)習(xí)經(jīng)驗(yàn)

考研數(shù)學(xué)學(xué)不會(huì),要如何逆轉(zhuǎn)?

  摘要:考研數(shù)學(xué)作為一門抽象類的學(xué)科,學(xué)起來往往是一知半解,久而久之考生就會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)這一學(xué)科喪失信心。數(shù)學(xué)學(xué)不會(huì),對(duì)考研初試中必考數(shù)學(xué)的同學(xué)是一大禁忌。關(guān)于數(shù)學(xué),我們總是在機(jī)械的階梯,卻從未深入研究過,數(shù)學(xué)考察的是什么?也難怪你總是得不到考研數(shù)學(xué)的青睞了。

  ?我的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷程及遇到的困難

  在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中,到底會(huì)遇到什么樣的困難?以下是幫幫小編根據(jù)大家的評(píng)論總結(jié)的:

  1.數(shù)學(xué)內(nèi)容抽象,看不懂。

  2.知識(shí)點(diǎn)太多,記不住。

  3.題目太難,遇到難題不會(huì)做。

  4.找不到人討論,太枯燥。

  因?yàn)榇髮W(xué)的學(xué)習(xí)特點(diǎn),不像高中,大家都學(xué)一樣的東西,然后按照同樣的節(jié)奏在走,所以遇到同樣的學(xué)科,還能討論一下。可是大學(xué)呢,找人討論都很困難,各忙各的,所以就顯得這個(gè)學(xué)習(xí)過程很枯燥。

  5.時(shí)間太短,壓力大。

  怎么時(shí)間太短了呢?從現(xiàn)在到考研只剩6個(gè)月時(shí)間,而這6個(gè)月也不是全部都給了數(shù)學(xué),還有許多其他科目。其實(shí)計(jì)算下來也就沒有多久了。

  有個(gè)朋友說,“眼睜睜看著老師把一道全是英文和希臘字母的題,最后解出的答案竟然是阿拉伯?dāng)?shù)字,直到現(xiàn)在還費(fèi)解。”這些實(shí)際上是指高等數(shù)學(xué)比較抽象。

  ?數(shù)學(xué)到底是什么?

  要讀懂高等數(shù)學(xué),我們必然會(huì)問這樣一個(gè)問題,數(shù)學(xué)究竟是什么?以高等數(shù)學(xué)為例,大家在網(wǎng)上常常會(huì)看到這樣的所謂知識(shí)結(jié)構(gòu)圖。

  在這副圖里面,把高等數(shù)學(xué)比喻成一棵大樹,函數(shù)是這棵大樹的根,我們高中的數(shù)學(xué)里面都已經(jīng)學(xué)過了,如反函數(shù)、奇偶函數(shù)的奇偶性、初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)等等;然后這棵大樹的主干是函數(shù)的極限,也就是我們高等數(shù)學(xué)的第一章,函數(shù)的極限。

  在左邊,函數(shù)的極限生長(zhǎng)出一個(gè)大的分支,叫做導(dǎo)數(shù)與微分。導(dǎo)數(shù)與微分首先涉及到中值定理,微分中值定理和中值定理的應(yīng)用。然后它又導(dǎo)向了第二個(gè)分支,多元函數(shù)的微分學(xué),而函數(shù)的極限又引出了另外一個(gè)大的分支,叫做不定積分,不定積分一方面,引向定積分與定積分的應(yīng)用,另一方面又引向了常微分方程。這不是思維導(dǎo)圖做的,這就是直接在這棵大樹上面加上去的一些,用PPT就可以做出來。

  像這樣的圖像對(duì)大家把握一門知識(shí)是有利的,但這樣的圖片也會(huì)造成一個(gè)誤導(dǎo)。導(dǎo)致我們把數(shù)學(xué)僅僅當(dāng)做知識(shí)來看待。因此產(chǎn)生了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的巨大的困難和障礙。因此學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的第一個(gè)誤區(qū)就出現(xiàn)了:把數(shù)學(xué)僅僅當(dāng)做知識(shí)來看待。

  我們看看大數(shù)學(xué)家們是怎么看數(shù)學(xué)的。

  比如這本書叫做《什么是數(shù)學(xué)》,副標(biāo)題是“對(duì)思想和方法的基本研究”,它的作者是柯朗??吕适?0世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一,美國(guó)有一個(gè)世界聞名的柯朗研究所。很多大科學(xué)家對(duì)這本書有高度的贊譽(yù),比如愛因斯坦說,“本書是對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的基本概念及方法的透徹清晰的闡述”;愛因斯坦的好朋友,韋爾是20世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)物理學(xué)家,他稱贊,“這是一本非常完美的著作,被數(shù)學(xué)家們視作科學(xué)的鮮血的一切基本思路和方法。在《什么是數(shù)學(xué)》這本書中,用最簡(jiǎn)單的例子,使之清晰明了,已經(jīng)達(dá)到了令人驚訝的程度”。

  看到愛因斯坦和韋爾評(píng)價(jià)這本書的話,我們都很想去讀一讀這本書究竟在講什么,但是如果大家去看這本書,多數(shù)人會(huì)感到失望。

  為什么會(huì)失望呢?是因?yàn)檫@本書里面進(jìn)的東西,我們看起來似乎很簡(jiǎn)單,比我們教科書的內(nèi)容還要簡(jiǎn)單一些。那為什么這樣一本書會(huì)受到如此高度的贊譽(yù)?實(shí)際上這本書看似內(nèi)容并不復(fù)雜,但是它卻告訴了我們一件事,那就是數(shù)學(xué)究竟是什么?它的答案就是:數(shù)學(xué)的本質(zhì)是思維技能!

  我們看一看,高等數(shù)學(xué)的所有部分都貫穿著同樣的思維結(jié)構(gòu)。

  ?這個(gè)思維結(jié)構(gòu)是什么?

  就是從問題引入定義,這個(gè)定義一般會(huì)對(duì)應(yīng)著幾何直觀;然后定義又引入定義的性質(zhì),比如導(dǎo)數(shù)的性質(zhì),極限的性質(zhì)等,另外,定義包含著運(yùn)算,比如導(dǎo)數(shù),從導(dǎo)數(shù)的定義直接就可以推出運(yùn)算法則。然后從定義和運(yùn)算法則和性質(zhì),會(huì)推出一系列的定理,這些定理在各個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)情形中進(jìn)行應(yīng)用,乃至應(yīng)用于其他的領(lǐng)域,包括物理學(xué),經(jīng)濟(jì)學(xué),生物學(xué)等等。

  這里關(guān)鍵在于所有的數(shù)學(xué)分支都是這么同樣的一個(gè)結(jié)構(gòu),幾乎是完全相同的,大家看看這個(gè)說法是不是有道理,大家回憶一下,是不是高數(shù)的所有分支都是這樣一個(gè)同樣的結(jié)構(gòu)。

  如果我們把高等數(shù)學(xué)的本質(zhì)當(dāng)做思維技能來看待,我們立即能回答很多問題,比如說為什么平時(shí)做題不錯(cuò),而考研成績(jī)卻不佳,其實(shí)最重要的原因是把數(shù)學(xué)僅僅當(dāng)做知識(shí)來學(xué),因?yàn)榭佳械臅r(shí)候,就它不會(huì)考同樣的題目。題型還會(huì)變動(dòng),我們的記憶是會(huì)波動(dòng)的,如果我們著眼于這個(gè)思維技能,我們就會(huì)發(fā)現(xiàn),技能比知識(shí)的記憶要穩(wěn)定得多,技能比知識(shí)的記憶要快得多,技能往往是一種自動(dòng)化的東西,而知識(shí)需要想半天。

  我們從一個(gè)正面的例子來看,有一位考生,他在考研過程中感冒,前兩科就感冒,考到數(shù)學(xué)的時(shí)候還感冒,結(jié)果他數(shù)學(xué)還是考了143分,考的是數(shù)學(xué)一,他用的參考書全是2013版的,本來是2014年考研,應(yīng)該用2014年版的參考書,但是他用的2013版的。為什么他能夠做到這一點(diǎn),實(shí)際上數(shù)學(xué)在他大腦中,變成了這個(gè)思維的技能。

  可能很多人仍然不理解:數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)的思維技能究竟有什么差別?

  舉一個(gè)例子,看過一萬遍鋼琴譜的人會(huì)彈鋼琴嗎?甚至彈過一萬??********的人,能彈好曲子嗎?顯然不一定啊。所以當(dāng)我們?nèi)W(xué)數(shù)學(xué)的時(shí)候,我們看許多遍書,不一定有效??丛S多遍視頻,也不一定有效,即便是練過許多題目,也不一定有效,因?yàn)檫@么做的人多了,考的成績(jī)不理想的。這么做的人,考的成績(jī)不理想的人,比比皆是。

  那么什么才是核心?什么才是關(guān)鍵?

  最核心的是訓(xùn)練數(shù)學(xué)的思維。

  ?數(shù)學(xué)思維

  當(dāng)我們看書的時(shí)候,當(dāng)我們看視頻的時(shí)候,當(dāng)我們練習(xí)題目的時(shí)候,如果我們關(guān)注的是如何訓(xùn)練自己的數(shù)學(xué)思維,這樣才會(huì)產(chǎn)生效果。這種訓(xùn)練會(huì)訓(xùn)練出一種思維技能,數(shù)學(xué)的思維技能,而這種技能是貫穿于數(shù)學(xué)的所有分支,所有部分的。

  這種技能甚至還可以遷移到其他領(lǐng)域,如果我們把數(shù)學(xué)看作思維技能的話,立刻可以理解為什么數(shù)學(xué)成績(jī)很突出的人,反而不去記很多東西?就像我剛才講的那位師弟,在黑板上出一道積分的題目,我們來出題,我們?cè)谀怯懻摚驹谀?0秒鐘直接報(bào)了個(gè)答案。他就是這種類型的人,他不會(huì)記很多的數(shù)學(xué)知識(shí),但他卻能迅速解題。為什么?因?yàn)樗麄儽匾臅r(shí)候可以推導(dǎo)出來,把公式推導(dǎo)出來,這些知識(shí)在他們大腦中是一個(gè)有機(jī)的記憶,甚至是自動(dòng)化的。

  數(shù)學(xué)思維的精髓究竟是什么?

  愛因斯坦在《物理學(xué)的進(jìn)化》開篇就講,“提出一個(gè)問題,往往比解決一個(gè)問題更為重要,因?yàn)榻鉀Q一個(gè)問題,也許是一個(gè)數(shù)學(xué)上或?qū)嶒?yàn)上的技巧,而提出新的問題,新的可能性,從新的角度看舊問題,卻需要?jiǎng)?chuàng)造性的想象力,而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步。”

  這段話用來描述我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程,同樣恰當(dāng)??梢赃@么說,在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)歷程中,提出一個(gè)問題往往比解決一個(gè)問題更為重要,因?yàn)榻鉀Q一個(gè)問題,也許是一個(gè)數(shù)學(xué)上的技巧,而提出新的問題,新的可能性,從新的角度看舊問題,卻需要?jiǎng)?chuàng)造性的想象力,而且標(biāo)志著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真正進(jìn)步。

  ?數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的九個(gè)境界

  數(shù)學(xué)精深訓(xùn)練有九個(gè)臺(tái)階。

  第一個(gè)臺(tái)階是能看懂。

  第二個(gè)臺(tái)階是能記??;

  第三個(gè)臺(tái)階是會(huì)解題;

  什么是能看懂?能看懂,就是能夠懂得數(shù)學(xué)定義,定理,公式的來龍去脈。一看到這個(gè)定理、公式,腦子里面盤旋的一些問題,我們一一找到答案,我們要從內(nèi)心里面去回答,那么找到的答案越多,做出來的問答越多,我們就懂得的越多,這就是能看懂的含義。

  往往是這一步,使得很多人難以入門,一旦我們做到這一點(diǎn)的話,我們馬上就邁上了第一個(gè)臺(tái)階,邁上第一個(gè)臺(tái)階之后,能記住會(huì)解題,只要我們把那些最基本的東西給做出來,做一遍,親自動(dòng)手去算一遍,那么我們馬上就會(huì)跨過第二個(gè)、第三個(gè)臺(tái)階。

  這樣的話,考一個(gè)及格的分?jǐn)?shù)就不成問題了。有不少人把高數(shù)的考研目標(biāo)定為90分,實(shí)際上做完剛才所說的這些,每一章,每一節(jié)都這么去做的話,考90分根本不成問題。

  第四個(gè)臺(tái)階是熟練解題;

  在解題的過程中不斷地進(jìn)行這樣的有意識(shí)的思維操作的訓(xùn)練,那么熟練解題也為之不遠(yuǎn)了。

  第五個(gè)臺(tái)階是會(huì)梳理;

  什么是會(huì)梳理?剛才已經(jīng)給大家分享了數(shù)學(xué)的基本結(jié)構(gòu)是什么?每一章都在重復(fù)同樣的基本結(jié)構(gòu),把那些知識(shí)點(diǎn)都給匯總到這個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)里面,就是會(huì)梳理。包括我們每一章都在用什么樣的運(yùn)算技巧?大家心里面有沒有數(shù),這一章我們會(huì)用到什么,什么樣的運(yùn)算技巧,能不能1、2、3、4、5、6、7、8,這么列出來,一是一、二是二的列出來,如果這么做了,那肯定是會(huì)梳理了。

  第六個(gè)臺(tái)階是融會(huì)貫通;

  什么是融會(huì)貫通?比如導(dǎo)數(shù),是從什么問題引入的?導(dǎo)數(shù)的定義,它的嚴(yán)格的定義是什么?它對(duì)應(yīng)的幾何直觀是什么?導(dǎo)數(shù)怎么推出導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則?導(dǎo)數(shù)的定義和運(yùn)算法則又有什么用?能解什么樣的題目?如果我們一步步這么做下來的話,那就是融會(huì)貫通了,對(duì)這一章,這一節(jié)融匯貫通了。

  第七個(gè)臺(tái)階是把握數(shù)學(xué)思維;

  什么是把握數(shù)學(xué)思維?所謂的數(shù)學(xué)思維就是一個(gè)一個(gè)的基本的思維操作,像加、減、乘、除法,各種類型的加、減、乘、除法,像加一項(xiàng)、減一項(xiàng),像它的定義,為什么會(huì)有這樣的定義?它的問題是什么?這個(gè)定義能解決什么問題?當(dāng)我們提這些問題,去找它的答案的時(shí)候,按照這樣的思維去訓(xùn)練的時(shí)候,我們就把握數(shù)學(xué)思維了。

  第八個(gè)臺(tái)階是體驗(yàn)學(xué)習(xí)的樂趣;

  一旦我們做到前面這幾步的話,那數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)自然就有樂趣,設(shè)想一下,我們面對(duì)一塊黑板或者一張白紙,我們從導(dǎo)數(shù)的定義開始做起,一下就把這一套全都寫下來了,不用看參考書,從導(dǎo)數(shù)的定義一直推出這個(gè)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,解出一些基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù),然后解出更復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。這里面能沒有樂趣嗎?當(dāng)然有樂趣了。而且我們回答了心中的一個(gè)又一個(gè)的問題,而這些問題呢,它不但可以提高成績(jī),還可以跟其他人來交流,給其他人帶來啟發(fā)。

  第九個(gè)臺(tái)階是能夠投入,忘我的學(xué)習(xí)。

  達(dá)到第八個(gè)臺(tái)階就很容易到達(dá)第九個(gè)臺(tái)階了,就是樂此不疲,我們稱之為心流,flow。我們這樣子學(xué)習(xí)三個(gè)小時(shí)的數(shù)學(xué),感覺時(shí)間才過了半個(gè)小時(shí)一樣。

  四、五、六、這個(gè)臺(tái)階邁上去,那么我們數(shù)學(xué)考個(gè)優(yōu)秀的成績(jī),考個(gè)120分,就不是問題了,如果我們到達(dá)了這七、八、九,這三個(gè)境界,那么考更高的成績(jī),像我剛才那個(gè)師弟講的,考130分,140多分,那就是完全有可能的了,因?yàn)槟愣加X得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都不是負(fù)擔(dān)了,不是障礙了,不是痛苦而是享受了,解道難題會(huì)帶來巨大的樂趣啊。

  ?讀不懂?dāng)?shù)學(xué)怎么辦?

  1.我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),必定需要扎實(shí)的基本功,這個(gè)基本功是什么?

  就是剛才講的那個(gè)基本的思維技能,但可惜的是許多人不曾掌握這個(gè)思維技能,甚至都沒有意識(shí)到,我們?cè)谧鰯?shù)學(xué)的過程中,在不斷進(jìn)行同樣的思維操作,那個(gè)思維操作就是:基本的問答,不斷在做問答,不斷地在做加、減、乘、除法,不斷地在從問題到定義,到定義的性質(zhì),到運(yùn)算法則,到定理,到定理的應(yīng)用去解題目,不斷地在進(jìn)行這樣的或大或小的思維操作,這些思維操作,就是數(shù)學(xué)思維的基本的技能,也就是我們學(xué)數(shù)學(xué)的基本功。

  2.任何技能的學(xué)習(xí),任何技能的掌握,必定是先慢后快

  著名數(shù)學(xué)家小平邦彥,在一開始讀不懂?dāng)?shù)學(xué)時(shí),選擇了抄書,他把一整本書完完整整的抄了一遍。但如果他一本本地去抄,當(dāng)?shù)珨?shù)學(xué)的文獻(xiàn)浩如煙海,經(jīng)典著作多得不得了,他如果都是這么慢慢的抄的話,那得抄到何年何月?正因?yàn)樗倪^程中,他不斷地去熟悉和訓(xùn)練自己的思維技能,任何數(shù)學(xué)分支都有同樣的結(jié)構(gòu),一旦熟悉這個(gè)技能,那就熟能生巧了。

  反之,一旦我們前面的東西沒掌握,認(rèn)為它很簡(jiǎn)單,認(rèn)為它很顯然,認(rèn)為它不值得一做,很可能在遇到那個(gè)考研題目的時(shí)候,我們都沒有解題思路,甚至有解題思路,我們做不對(duì),做不出來,

  3.不要糾結(jié)于有沒有天資,除非努力過。

  即便是數(shù)學(xué)家,他們學(xué)數(shù)學(xué)的初期,仍然遇到很大的困難,我們?cè)趯W(xué)高數(shù)的過程中,遇到困難的時(shí)候,看不懂的時(shí)候,題目做不出來的時(shí)候,經(jīng)常會(huì)自我懷疑,是不是我數(shù)學(xué)真的就不行啊?我沒有數(shù)學(xué)思維???

  不是,不是那樣子的。認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)的研究表明,我們天生下來就有數(shù)學(xué)思維。嚴(yán)格的論證,之后跟大家來分享一下。不要再糾結(jié)這個(gè)問題了,除非我們努力過。連這樣的數(shù)學(xué)家都做過這樣的努力,那我們,我們問問自己,我們有沒有做過這個(gè)與之相,相當(dāng)?shù)倪@個(gè)努力。

  4.“如果世界上有奇跡,那只不過是努力的代名詞”

  我們能解一道題目,中等難度的題目,只不過是由那些基本的知識(shí)點(diǎn),那些基本的思維操作所導(dǎo)出來的。一道更難的題目也是一樣的,我們解了一道很難的題目,會(huì)感到驕傲,感到是個(gè)奇跡,那只不過是我們以前以往點(diǎn)點(diǎn)滴滴的努力累積出來的,就是像積分一樣,一點(diǎn)一點(diǎn)的積累出來的。

  5.沒有絕對(duì)懂與不懂,關(guān)鍵是我今天有沒有懂得更多。

  我今天懂了多少,我今天究竟懂了什么?我今天找到了哪些問題的答案,這是關(guān)鍵。包括我們?cè)谧鲆坏李}目的時(shí)候,我做錯(cuò)了,做錯(cuò)的話,我有什么收獲?我做對(duì)了,也要問自己究竟收獲了多少?一是一,二是二,三是三,我們有沒有這么去做?這樣做非常關(guān)鍵。

 ?。▽?shí)習(xí)小編:晴天)

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