2017考研大綱解析：微分中值定理“病癥”

　　微分中值定理一直以來是高數(shù)中的重點也是難點，大家對他沒有免疫力，見到這種題就中槍。因為微分中值定理這部分主要考證明題，大家看到證明題，就直接放棄。這和同學們不理解微分中值定理以及各定理之間的關系有關。下面我為大家整理了中值定理這部分考研的命題方向和特點，為大家提出系統(tǒng)化的思路方法。

　　首先我們要知道微分中值定理有哪些，并且知道這些定理的證明思想。費馬引理是微分中值定理的基礎。微分中值定理有3個，分別是羅爾中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。

　　1、羅爾中值定理若滿足：(1)閉區(qū)間上連續(xù);(2)開區(qū)間可導;(3)則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得。

　　在這里我們要注意羅爾中值定理的條件，區(qū)間問題不容忽視，而且我們還要會證明。這里我簡要說明一下，這個證明利用了閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，最值性和介值性定理。

　　2、拉格朗日中值定理若滿足：(1)閉區(qū)間上連續(xù);(2)開區(qū)間可導，則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得。在這里我們可以看出羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情況。我們要知道這個定理的證明思想，并且在2009年數(shù)一二三就考了拉格朗日中值定理的證明。其次我們還要掌握拉格朗日中值定理的變形。下面我們來證明一下拉格朗日中值定理。

　　證明：構造輔助函數(shù)，在上連續(xù)，在上可導，且則由羅爾中值定理得，在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得，證畢。在微分中值定理的證明題中一般都會用到這個思想就是構造輔助函數(shù)，目的是要用到羅爾中值定理。其實我們這里的輔助函數(shù)可以有很多種，比如我們還可寫成，只要根據(jù)結論構造適當?shù)暮瘮?shù)滿足羅爾中值定理的要求就可以。

　　3、柯西中值定理若，滿足：(1)閉區(qū)間上連續(xù);(2)開區(qū)間可導且，則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得。同樣我們可以看出拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情況，令即可。下面我們來證明一下柯西中值定理。

　　證明：構造輔助函數(shù)，顯然滿足在閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間可導且滿足羅爾中值定理，則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得，即，證畢。在這里輔助函數(shù)我們也有很多種，滿足羅爾中值定理就可以。

　　柯西中值定理

　　拉格朗日中值定理

　　羅爾中值定理

　　從上面我們可以得出三個定理之間的關系為

　　在考研數(shù)學中，微分中值定理只要記住理解他們，注意他們使用的條件，以及證明的思想(構造輔助函數(shù))，我覺得這種證明題我們就不要擔心了。

　　祝大家考研成功!