2017考研數(shù)學(xué)大綱解析：線性代數(shù)的重難點(diǎn)

　　考研數(shù)學(xué)中數(shù)一、數(shù)二、數(shù)三在高數(shù)中的要求會(huì)有一些區(qū)別，但這點(diǎn)在線性代數(shù)這門(mén)課程中幾乎是沒(méi)有的，如果非得嚴(yán)格的說(shuō)，只有在空間解析幾何上面的差距。因此，對(duì)于線性代數(shù)而言，在考試中的重點(diǎn)和難點(diǎn)是沒(méi)有太大區(qū)別的，下面我們具體來(lái)看一下線代中的幾個(gè)重難點(diǎn)。

　　線性代數(shù)的第一個(gè)重難點(diǎn)是線性方程組。齊次線性方程組與線性相關(guān)、無(wú)關(guān)的聯(lián)系。齊次線性方程組必定有解，其中零解必定是它的解，向量部分的一條性質(zhì)：零向量可由任何向量線性表示。因此，我們更關(guān)注的齊次線性方程組什么時(shí)候有非零解，而當(dāng)齊次線性方程組有非零解時(shí)，即存在不全為零的一組數(shù)使得向量組的線性組合為零向量。向量部分中判斷向量組是否線性相關(guān)(無(wú)關(guān))的定義也正是由這個(gè)等式出發(fā)的。故向量與線性方程組在此又產(chǎn)生了聯(lián)系：齊次線性方程組是否有非零解對(duì)應(yīng)于系數(shù)矩陣的列向量組是否線性相關(guān)?？梢栽O(shè)想線性相關(guān)(無(wú)關(guān))的概念就是為了更好地討論線性方程組問(wèn)題而提出的。

　　齊次線性方程組的解與秩和極大無(wú)關(guān)組的聯(lián)系。同樣可以認(rèn)為秩是為了更好地討論線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)而引入的。秩的定義是極大線性無(wú)關(guān)組中的向量個(gè)數(shù)。由秩，線性相關(guān)(無(wú)關(guān))、線性方程組解的判定的邏輯鏈條，就可以判定列向量組線性相關(guān)時(shí)，齊次線性方程組有非零解，且齊次線性方程組的解向量可以通過(guò)線性無(wú)關(guān)的解向量(基礎(chǔ)解系)線性表示。

　　非齊次線性方程組與線性表示的聯(lián)系。非齊次線性方程組是否有解對(duì)應(yīng)于向量是否可由列向量組線性表示，使等式成立的一組數(shù)就是非齊次線性方程組的解。線性方程組的重點(diǎn)內(nèi)容有：齊次線性方程組有非零解和非齊次線性方程組有解的判定及解的結(jié)構(gòu)、齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求解與證明、齊次(非齊次)線性方程組的求解(含對(duì)參數(shù)取值的討論)。主要題型有：線性方程組的求解、方程組解向量的判別及解的性質(zhì)、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、非齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu)、兩個(gè)方程組的公共解、同解問(wèn)題。

　　線性代數(shù)的第二個(gè)重點(diǎn)就是矩陣的相似性。這一點(diǎn)需要大家注意的是矩陣的相似對(duì)角化，而考試過(guò)程中，矩陣的相似對(duì)角化常常與二次型相結(jié)合在一起。另一方面，任何一個(gè)二次型都對(duì)應(yīng)實(shí)對(duì)稱矩陣，而實(shí)對(duì)稱矩陣又具有某些良好的性質(zhì)，必可正交相似對(duì)角化，其過(guò)程就是相似對(duì)角化在為實(shí)對(duì)稱矩陣時(shí)的應(yīng)用。線性代數(shù)每年都會(huì)考察兩道大題，而往往就是這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)各考察一個(gè)。

　　近幾年，從考試的方向來(lái)看，對(duì)二次型的考察傾向比較大，而且是解答題，這一塊的考查方式有兩種：一種是以計(jì)算題的形式進(jìn)行考察，主要是結(jié)合前面的相似對(duì)角化以及可相似對(duì)角化的判定條件可以求參數(shù)，求秩等;另一種考查方式則是正定性的判定，這里主要是通過(guò)正特征值的個(gè)數(shù)、正慣性指數(shù)或者是正定性的定義。對(duì)于具體采用哪種方法，還需要考生在做題的過(guò)程中進(jìn)行總結(jié)，但這塊的知識(shí)點(diǎn)綜合性會(huì)高一點(diǎn)，需要考生有一個(gè)很扎實(shí)的基礎(chǔ)。