考研數(shù)學迷之知識點——什么是連續(xù)？

　　摘要：學過高數(shù)的同學應該都知道連續(xù)，小編一直覺得連續(xù)聽起來是個很簡單的概念，但其實又很迷，有點說不清道不明。今天就來好好分析一下連續(xù)是什么，希望可以幫助大家理解的更透徹。

　　連續(xù)---是我們微積分學中，對極限的第一個應用。從它字面意思或是深入到幾何意義就是說，函數(shù)的圖像是連綿不斷的。

　　在我們考研當中，對這個概念也是親睞有加，在選擇題中反復出現(xiàn)。

　　?首先，所謂連續(xù)即“極限值=函數(shù)值”

       這一個等式包含了三個方面，1、函數(shù)必須在該點處有定義；2、函數(shù)必須在這個點附近存在極限；3、是前面1、2兩點的內容必須相等。

　　同時滿足這三個條件，才叫做函數(shù)在某點處連續(xù)。看到，判斷函數(shù)連續(xù)，要先求極限。

　　所以，如何求函數(shù)在該點處的極限值或是用極限存在的充要條件(左右極限存在且相等)，是一個隱含的知識點。

　　?其次，我們自然會問，會不會有不連續(xù)的點呢？

       答案當然是肯定的，不連續(xù)的點就是我們所說的---間斷點。

　　那么所謂“不連續(xù)”就是不能同時滿足連續(xù)的三個條件的點，即1、函數(shù)在該點處沒有定義；2、若函數(shù)在該點有定義，但函數(shù)在該點附近的極限不存在；3、雖然函數(shù)在該點處有定義，極限也存在，但是二者不相等。

　　對于間斷點，根據(jù)左右極限存在與否，我們把它分為兩類。

　　若左右極限都存在的間斷點，稱為第一類間斷點；若左右極限相等，這個間斷點稱為第一類間斷點中的可去間斷點；若左右極限不相等，這個間斷點稱為第一類間斷點中的跳躍間斷點。

　　若左右極限中至少有一個不存在(包含極限等于無窮的情形)的間斷點，稱為第二類間斷點；若其中一個極限是趨于無窮的，這個間斷點就稱為無窮間斷點；若極限是在兩個常數(shù)之間來回振蕩的，就稱為振蕩間斷點。

　　?最后，對于連續(xù)性最重要的應用或者是說考研中的一個小難點，就是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的三個性質：最大最小值定理、零點定理、介值定理。

　　對于上面的知識點，我們看看在考研中是怎么考察的。

　　對于連續(xù)的概念，難度上屬于簡單知識點。

　　首先，在十五年前，對于連續(xù)性的考查，更多的是給一個分段函數(shù)，然后判斷分段點處函數(shù)的連續(xù)性，這是一個基本題型，只需判斷連續(xù)的三個條件即可，其實主要是考查求函數(shù)某點處左右極限的值。

　　然后，進入20世紀，考查又傾向于在選擇題當中，給一個函數(shù)，讓大家來判斷這個函數(shù)有多少間斷點，間斷點的類型是什么，這個又比之前考查的更高一層。

　　在邏輯推理題中，考查零點定理，介值定理，通常，考查介值定理的時候也會用到最值定理。

　　我們歸納題型知道，判斷方程根的情況的時候，一般用零點定理；題干中包含好幾個函數(shù)值相加的時候，一般用介值定理。具體在證明題中怎么用，會在專門的證明題專題中講解。

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