2016考研數(shù)學(xué)：函數(shù)與極限定理匯總

　　【摘要】在暑期完成第一輪基礎(chǔ)考點(diǎn)的復(fù)習(xí)之后，9月份開始需要對(duì)考研數(shù)學(xué)所考的定理定義進(jìn)行必要的匯總。本文為同學(xué)們整理了高數(shù)定理定義匯總。考研幫攜手2016大綱解析人第一時(shí)間解讀大綱，點(diǎn)擊免費(fèi)報(bào)名。

　　
　　1、函數(shù)的有界性
　　在定義域內(nèi)有f(x)≥K1則函數(shù)f(x)在定義域上有下界，K1為下界；如果有f(x)≤K2，則有上界，K2稱為上界。函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)有界的充分必要條件是在定義域內(nèi)既有上界又有下界。

　　2、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性

　　3、數(shù)列的極限
　　定理(極限的唯一性)數(shù)列{xn}不能同時(shí)收斂于兩個(gè)不同的極限。

　　定理（收斂數(shù)列的有界性）如果數(shù)列{xn}收斂，那么數(shù)列{xn}一定有界。

　　如果數(shù)列{xn}無界，那么數(shù)列{xn}一定發(fā)散；但如果數(shù)列{xn}有界，卻不能斷定數(shù)列{xn}一定收斂，例如數(shù)列1，-1，1，-1，（-1）n+1…該數(shù)列有界但是發(fā)散，所以數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件而不是充分條件。

　　定理（收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系）如果數(shù)列{xn}收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂于a。

　　如果數(shù)列{xn}有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限，那么數(shù)列{xn}是發(fā)散的，如數(shù)列1，-1，1，-1，（-1）n+1…中子數(shù)列{x2k-1}收斂于1，{xnk}收斂于-1，{xn}卻是發(fā)散的；同時(shí)一個(gè)發(fā)散的數(shù)列的子數(shù)列也有可能是收斂的。

　　4、函數(shù)的極限
　　函數(shù)極限的定義中0<|x-x0|表示x≠x0,所以x→x0時(shí)f(x)有沒有極限與f(x)在點(diǎn)x0有沒有定義無關(guān)。

　　定理（極限的局部保號(hào)性）如果lim(x→x0)時(shí)f(x)=A，而且A>0（或A<0），就存在著點(diǎn)那么x0的某一去心鄰域，當(dāng)x在該鄰域內(nèi)時(shí)就有f(x)>0（或f(x)>0），反之也成立。

　　函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)極限存在的充分必要條件是左極限右極限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等則limf(x)不存在。

　　一般的說，如果lim（x→∞）f(x)=c，則直線y=c是函數(shù)y=f(x)的圖形水平漸近線。如果lim（x→x0）f(x)=∞，則直線x=x0是函數(shù)y=f(x)圖形的鉛直漸近線。

　　5、極限運(yùn)算法則
　　有限個(gè)無窮小之和也是無窮?。挥薪绾瘮?shù)與無窮小的乘積是無窮?。怀?shù)與無窮小的乘積是無窮?。挥邢迋€(gè)無窮小的乘積也是無窮??；

　　如果F1（x）≥F2（x）,而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b。

　　6、極限存在準(zhǔn)則
　　兩個(gè)重要極限lim（x→0）（sinx/x）=1；lim（x→∞）（1+1/x）x=1。

　　夾逼準(zhǔn)則如果數(shù)列{xn}、{yn}、{zn}滿足下列條件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，對(duì)于函數(shù)該準(zhǔn)則也成立。

　　單調(diào)有界數(shù)列必有極限。

　　7、函數(shù)的連續(xù)性
　　設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的極限存在，且等于它在點(diǎn)x0處的函數(shù)值f(x0)，即lim（x→x0）f(x)=f(x0)，那么就稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)。

　　不連續(xù)情形：1、在點(diǎn)x=x0沒有定義；2、雖在x=x0有定義但lim（x→x0）f(x)不存在；3、雖在x=x0有定義且lim（x→x0）f(x)存在，但lim（x→x0）f(x)≠f(x0)時(shí)則稱函數(shù)在x0處不連續(xù)或間斷。

　　如果x0是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)，但左極限及右極限都存在，則稱x0為函數(shù)f(x)的第一類間斷點(diǎn)（左右極限相等者稱可去間斷點(diǎn)，不相等者稱為跳躍間斷點(diǎn)）。非第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)都稱為第二類間斷點(diǎn)（無窮間斷點(diǎn)和震蕩間斷點(diǎn)）。

　　有限個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的和、積、商（分母不為0）是個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)。

　　如果函數(shù)f(x)在區(qū)間Ix上單調(diào)增加或減少且連續(xù)，那么它的反函數(shù)x=f(y)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間Iy={y|y=f(x),x∈Ix}上單調(diào)增加或減少且連續(xù)。反三角函數(shù)在他們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的。

　　定理（最大值最小值定理）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有最大值和最小值。如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)，那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值和最小值。

　　定理（有界性定理）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界，即m≤f(x)≤M。

　　定理（零點(diǎn)定理）設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)（即f(a)×f(b)<0），那么在開區(qū)間（a,b）內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)ξ（a<ξ<b）使f(ξ)=0。

　　定理（介值定理）設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)處取不同的值f(a)=A，f(b)=B，那么對(duì)于A與B之間的任一數(shù)C，在開區(qū)間（a,b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ使f(ξ)=C，（a<ξ<b）。

　　推論：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值

　　（實(shí)習(xí)編輯：趙峰）