一二三，搞定中值定理老大難

　　摘要：每年考研數(shù)學(xué)必有一道證明題，分值在10分左右，其中百分之九十涉及到的是微分中值定理及其應(yīng)用。與此同時(shí)，中值定理也是大部分考研學(xué)子難以攻克的一環(huán)，我們希望這篇文章能夠?qū)δ阌兴鶐椭?/p>

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　　微分中值定理及其應(yīng)用最難的是三個(gè)微分中值定理：羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。它們是考研數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)，現(xiàn)分別從涉及的知識(shí)點(diǎn)、考查方式、方法選擇、真題鏈接等四個(gè)方面進(jìn)行分析。

　　一、涉及的知識(shí)點(diǎn)及考查形式
　　可涉及微分中值定理及其應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn)有，微分中值定理，洛必達(dá)法則，函數(shù)單調(diào)性的判別，函數(shù)的極值，函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線，函數(shù)圖形的描繪，函數(shù)的最大值與最小值，弧微分(數(shù)一、數(shù)二要求)，曲率的概念(數(shù)一、數(shù)二要求)，曲率圓與曲率半徑(數(shù)一、數(shù)二要求)。
　　微分中值定理以間接考查或與其他知識(shí)點(diǎn)綜合出題的比重很大，也可以直接出題，所以考查形式有多種。如利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義考查函數(shù)的特性，討論導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)存在性或方程根個(gè)數(shù)問題，不等式的證明，證明含中值的等式，求極限等。

　　二、方法選擇
　　題目考查微分中值定理，那么選擇哪一中值定理成為解題的關(guān)鍵。
　　針對(duì)題目的特點(diǎn)，可根據(jù)如下情況選擇對(duì)應(yīng)的微分中值定理：如果結(jié)論不包含端點(diǎn)，優(yōu)先考慮羅爾定理；如果結(jié)論中包含端點(diǎn)，則考慮拉格朗日中值定理或柯西定理。那么選擇拉式還是柯西定理，需要對(duì)結(jié)論做進(jìn)一步的處理，化為定理的標(biāo)準(zhǔn)形式。如第一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，左邊是只含端點(diǎn)，右邊只含中值；第二個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，左邊進(jìn)一步處理，分子分母減號(hào)，一側(cè)只含右端點(diǎn)，一側(cè)只含左端點(diǎn)。整理后，如果分母是端點(diǎn)相減，則選擇拉格朗日定理；否則，選擇柯西定理。

　　三、求解步驟及歷年真題解析
　　涉及到微分中值定理，一般首先要找輔導(dǎo)函數(shù)。針對(duì)拉式中值定理和柯西定理，經(jīng)過對(duì)要證明的結(jié)論化為標(biāo)準(zhǔn)形式，可直接得出輔助函數(shù)。而羅爾定理，需要把結(jié)論化為微分方程的一般形式，使用積分因子法可找到。
　　有了輔助函數(shù)，根據(jù)中值定理，列出定理對(duì)應(yīng)的三個(gè)條件，得出結(jié)論。

　　四、小結(jié)
　　三個(gè)微分中值定理(條件與結(jié)論)的理解及其區(qū)別是復(fù)習(xí)的要點(diǎn)，而方法的選擇是解題的關(guān)鍵。三個(gè)微分中值定理(條件與結(jié)論)的理解及其區(qū)別理解透了，才能正確使用方法進(jìn)行求解。知識(shí)點(diǎn)的理解一定要結(jié)合一定量的習(xí)題才能真正掌握知識(shí)點(diǎn)，并應(yīng)用于考研。

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