2015年考研數(shù)學(xué)大綱原文匯總

    2015年數(shù)學(xué)一考試大綱
    考試科目：高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)
    考試形式和試卷結(jié)構(gòu)
    一、試卷滿分及考試時(shí)間
    試卷滿分為150分，考試時(shí)間為180分鐘．
    二、答題方式
    答題方式為閉卷、筆試．
    三、試卷內(nèi)容結(jié)構(gòu)
    高等教學(xué)約56%
    線性代數(shù)約22%
    概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)約22%
    四、試卷題型結(jié)構(gòu)
    單選題8小題，每小題4分，共32分
    填空題6小題，每小題4分，共24分
    解答題（包括證明題）9小題，共94分
    高等數(shù)學(xué)
    一、函數(shù)、極限、連續(xù)
    考試內(nèi)容
    函數(shù)的概念及表示法函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形初等函數(shù)函數(shù)關(guān)系的建立
    數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)函數(shù)的左極限和右極限無窮小量和無窮大量的概念及其關(guān)系無窮小量的性質(zhì)及無窮小量的比較極限的四則運(yùn)算極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則：單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限：
    函數(shù)連續(xù)的概念函數(shù)間斷點(diǎn)的類型初等函數(shù)的連續(xù)性閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)
    考試要求
    1．理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會(huì)建立應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系．
    2．了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性．
    3．理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念．
    4．掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念．
    5．理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左極限、右極限之間的關(guān)系．
    6．掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則．
    7．掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法．
    8．理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會(huì)用等價(jià)無窮小量求極限．
    9．理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型．
    10．了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)．
    二、一元函數(shù)微分學(xué)
    考試內(nèi)容
    導(dǎo)數(shù)和微分的概念導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系平面曲線的切線和法線導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)、反函 數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法高階導(dǎo)數(shù)一階微分形式的不變性微分中值定理洛必達(dá)（L'Hospital）法則函數(shù)單調(diào)性的判別函數(shù)的極值函 數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線函數(shù)圖形的描繪函數(shù)的最大值與最小值弧微分曲率的概念曲率圓與曲率半徑
    考試要求
    1．理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系．
    2．掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式．了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分．
    3．了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)．
    4．會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．
    5．理解并會(huì)用羅爾（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并會(huì)用柯西（Cauchy）中值定理．
    6．掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法．
    7．理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其應(yīng)用．
    8．會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性（注：在區(qū)間內(nèi)，設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)．當(dāng)時(shí)，的圖形是凹的；當(dāng)時(shí)，的圖形是凸的），會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線，會(huì)描繪函數(shù)的圖形．
    9．了解曲率、曲率圓與曲率半徑的概念，會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑．
    三、一元函數(shù)積分學(xué)
    考試內(nèi)容
    原函數(shù)和不定積分的概念不定積分的基本性質(zhì)基本積分公式定積分的概念和基本性質(zhì)定積分中值定理積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)牛頓-萊布尼茨（Newton- Leibniz）公式不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡單無理函數(shù)的積分反常（廣義）積分定積分的應(yīng)用
    考試要求
    1．理解原函數(shù)的概念，理解不定積分和定積分的概念．
    2．掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法．
    3．會(huì)求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡單無理函數(shù)的積分．
    4．理解積分上限的函數(shù)，會(huì)求它的導(dǎo)數(shù)，掌握牛頓-萊布尼茨公式．
    5．了解反常積分的概念，會(huì)計(jì)算反常積分．
    6．掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力、質(zhì)心、形心等）及函數(shù)的平均值．
    四、向量代數(shù)和空間解析幾何
    考試內(nèi)容
    向量的概念向量的線性運(yùn)算向量的數(shù)量積和向量積向量的混合積兩向量垂直、平行的條件兩向量的夾角向量的坐標(biāo)表達(dá)式及其運(yùn)算單位向量方向數(shù)與方向余弦曲面方 程和空間曲線方程的概念平面方程直線方程平面與平面、平面與直線、直線與直線的夾角以及平行、垂直的條件點(diǎn)到平面和點(diǎn)到直線的距離球面柱面旋轉(zhuǎn)曲面常用的 二次曲面方程及其圖形空間曲線的參數(shù)方程和一般方程空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線方程
    考試要求
    1．理解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表示．
    2．掌握向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積、混合積），了解兩個(gè)向量垂直、平行的條件．
    3．理解單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式，掌握用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法．
    4．掌握平面方程和直線方程及其求法．
    5．會(huì)求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會(huì)利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等））解決有關(guān)問題．
    6．會(huì)求點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離．
    7．了解曲面方程和空間曲線方程的概念．
    8．了解常用二次曲面的方程及其圖形，會(huì)求簡單的柱面和旋轉(zhuǎn)曲面的方程．
    9．了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程．了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，并會(huì)求該投影曲線的方程．
    五、多元函數(shù)微分學(xué)
    考試內(nèi)容
    多元函數(shù)的概念二元函數(shù)的幾何意義二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分全微分存在的必要條件和充分條件
    多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法二階偏導(dǎo)數(shù)方向?qū)?shù)和梯度空間曲線的切線和法平面曲面的切平面和法線二元函數(shù)的二階泰勒公式多元函數(shù)的極值和條件極值多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡單應(yīng)用
    考試要求
    1．理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義．
    2．了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)．
    3．理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，會(huì)求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性．
    4．理解方向?qū)?shù)與梯度的概念，并掌握其計(jì)算方法．
    5．掌握多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法．
    6．了解隱函數(shù)存在定理，會(huì)求多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)．
    7．了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會(huì)求它們的方程．
    8．了解二元函數(shù)的二階泰勒公式．
    9．理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會(huì)解決一些簡單的應(yīng)用問題．
    六、多元函數(shù)積分學(xué)
    考試內(nèi)容
    二重積分與三重積分的概念、性質(zhì)、計(jì)算和應(yīng)用兩類曲線積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算兩類曲線積分的關(guān)系格林（Green）公式平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件二元 函數(shù)全微分的原函數(shù)兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算兩類曲面積分的關(guān)系高斯（Gauss）公式斯托克斯（Stokes）公式散度、旋度的概念及計(jì)算曲線積 分和曲面積分的應(yīng)用
    考試要求
    1．理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，，了解二重積分的中值定理．
    2．掌握二重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)），會(huì)計(jì)算三重積分（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）．
    3．理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系．
    4．掌握計(jì)算兩類曲線積分的方法．
    5．掌握格林公式并會(huì)運(yùn)用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件，會(huì)求二元函數(shù)全微分的原函數(shù)．
    6．了解兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及兩類曲面積分的關(guān)系，掌握計(jì)算兩類曲面積分的方法，掌握用高斯公式計(jì)算曲面積分的方法，并會(huì)用斯托克斯公式計(jì)算曲線積分．
    7．了解散度與旋度的概念，并會(huì)計(jì)算．
    8．會(huì)用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長、質(zhì)量、質(zhì)心、形心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力、功及流量等）．
    七、無窮級數(shù)
    考試內(nèi)容
    常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂與發(fā)散的概念收斂級數(shù)的和的概念級數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件幾何級數(shù)與級數(shù)及其收斂性正項(xiàng)級數(shù)收斂性的判別法交錯(cuò)級數(shù)與萊布尼茨定理 任意項(xiàng)級數(shù)的絕對收斂與條件收斂函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）和收斂域冪級數(shù)的和函數(shù)冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi) 的基本性質(zhì)簡單冪級數(shù)的和函數(shù)的求法初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式函數(shù)的傅里葉（Fourier）系數(shù)與傅里葉級數(shù)狄利克雷（Dirichlet）定理函數(shù)在上 的傅里葉級數(shù)函數(shù)在上的正弦級數(shù)和余弦級數(shù)
    考試要求
    1．理解常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件．
    2．掌握幾何級數(shù)與級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件．
    3．掌握正項(xiàng)級數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會(huì)用根值判別法．
    4．掌握交錯(cuò)級數(shù)的萊布尼茨判別法．
    5．了解任意項(xiàng)級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關(guān)系．
    6．了解函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念．
    7．理解冪級數(shù)收斂半徑的概念，并掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法．
    8．了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分），會(huì)求一些冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會(huì)由此求出某些數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和．
    9．了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件．
    10．掌握，，，及的麥克勞林（Maclaurin）展開式，會(huì)用它們將一些簡單函數(shù)間接展開為冪級數(shù)．
    11．了解傅里葉級數(shù)的概念和狄利克雷收斂定理，會(huì)將定義在上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)，會(huì)將定義在上的函數(shù)展開為正弦級數(shù)與余弦級數(shù)，會(huì)寫出傅里葉級數(shù)的和函數(shù)的表達(dá)式．